概率论与数理统计公式拓展资料在进修概率论与数理统计的经过中，掌握各类基本概念和重要公式是领会其核心想法的关键。这篇文章小编将对概率论与数理统计中的常用公式进行体系整理，帮助读者快速回顾与应用。
一、概率论基础公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | |||
| 概率的定义 | $ P(A) = \fracn(A)}n(S)} $ | A 是事件，S 是样本空间，n 表示事件发生的次数 | |||
| 加法公式 | $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) $ | 用于计算两个事件至少发生一个的概率 | |||
| 乘法公式 | $ P(A \cap B) = P(A)P(B | A) $ | 用于计算两个事件同时发生的概率 | ||
| 条件概率 | $ P(B | A) = \fracP(A \cap B)}P(A)} $ | 在 A 发生的前提下，B 发生的概率 | ||
| 全概率公式 | $ P(B) = \sum_i=1}^n} P(A_i)P(B | A_i) $ | 当事件 B 可以由多个互斥事件 A_i 导致时使用 | ||
| 贝叶斯公式 | $ P(A_i | B) = \fracP(A_i)P(B | A_i)}\sum_j=1}^n} P(A_j)P(B | A_j)} $ | 用于在已知结局 B 的前提下，求某个缘故 A_i 的概率 |
二、随机变量及其分布
| 分布类型 | 概率质量函数（离散）或密度函数（连续） | 数学期望 | 方差 |
| 伯努利分布 | $ P(X = k) = p^k(1-p)^1-k} $, $ k=0,1 $ | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac\lambda^k e^-\lambda}}k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac1}b-a} $, $ a \leq x \leq b $ | $ \fraca+b}2} $ | $ \frac(b-a)^2}12} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac1}\sqrt2\pi}\sigma} e^-\frac(x-\mu)^2}2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^-\lambda x} $, $ x \geq 0 $ | $ \frac1}\lambda} $ | $ \frac1}\lambda^2} $ |
三、数字特征
| 特征名称 | 公式表达 | 说明 |
| 数学期望（均值） | $ E(X) = \int_-\infty}^+\infty} x f(x) dx $（连续） $ E(X) = \sum_i=1}^n} x_i P(X=x_i) $（离散） |
随机变量的平均值 |
| 方差 | $ Var(X) = E[(X – E(X))^2] = E(X^2) – [E(X)]^2 $ | 衡量随机变量偏离均值的程度 |
| 协方差 | $ Cov(X,Y) = E[(X – E(X))(Y – E(Y))] $ | 衡量两个随机变量之间的线性关系 |
| 相关系数 | $ \rho_XY} = \fracCov(X,Y)}\sqrtVar(X)Var(Y)}} $ | 取值范围 [-1,1]，衡量相关性强弱 |
四、统计推断常用公式
| 概念 | 公式 | 说明 |
| 样本均值 | $ \barx} = \frac1}n} \sum_i=1}^n} x_i $ | 描述数据集中动向 |
| 样本方差 | $ s^2 = \frac1}n-1} \sum_i=1}^n} (x_i – \barx})^2 $ | 描述数据离散程度 |
| 置信区间（正态总体） | $ \barx} \pm z_\alpha/2} \cdot \frac\sigma}\sqrtn}} $ | 估计总体均值的范围 |
| 假设检验（Z 检验） | $ Z = \frac\barx} – \mu_0}\sigma/\sqrtn}} $ | 用于判断是否拒绝原假设 |
| t 检验 | $ t = \frac\barx} – \mu_0}s/\sqrtn}} $ | 适用于小样本且总体标准差未知的情况 |
五、大数定律与中心极限定理
| 定理名称 | 内容概述 |
| 大数定律 | 当样本容量 n 趋于无穷大时，样本均值依概率收敛于总体均值 |
| 中心极限定理 | 当 n 足够大时，样本均值的分布近似服从正态分布，无论总体分布怎样 |
怎么样？经过上面的分析划重点，可以清晰地看到概率论与数理统计中各类公式的基本结构与应用场景。建议结合具体例题进行练习，以加深对公式的领会和运用能力。
