1. 相似对角化法（适用于可对角化矩阵）

矩阵 ( A ) 可相似对角化为 ( A = QLambda Q^-1} )，其中 ( Lambda ) 为对角阵，则幂次公式为：

A^n = Q Lambda^n Q^-1} ]

strong>步骤：

strong>适用条件：矩阵需有线性无关的特征向量（即可对角化）。

strong>参考：

2. 幂零矩阵拆分法（适用于含幂零分量的矩阵）

矩阵拆分为纯量阵 ( lambda E ) 和幂零矩阵 ( B )（满足 ( B^k = 0 )），即：

A = lambda E + B ]

用二项式定理展开：

A^n = (lambda E + B)^n = sum_k=0}^m C_n^k lambda^n-k} B^k ]

中 ( m ) 为幂零指数（即 ( B^m+1} = 0 )）。

strong>示例：若 ( B^2 = 0 )，则：

A^n = lambda^n E + n lambda^n-1} B ]

strong>适用条件：矩阵可分解为交换的纯量阵与幂零矩阵。

strong>参考：

3. 分块矩阵法（适用于分块对角矩阵）

矩阵可分块为对角块 ( A =

xtdiag}(A_1, A_2) )，则：

A^n =

xtdiag}(A_1^n, A_2^n) ]

strong>示例：若 ( A = beginpmatrix} 3 & 4 & 0 & 0 4 & -3 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 2 endpmatrix} )，每个对角块分别计算幂次。

strong>适用条件：矩阵为分块对角或准对角形式。

strong>参考：

4. 秩1矩阵幂（适用于外积形式矩阵）

( A = alpha beta^T )，其中 ( alpha, beta ) 为列向量，则：

A^n = (beta^T alpha)^n-1} A ]

strong>示例：若 ( beta^T alpha = c )，则 ( A^n = c^n-1} A )。

strong>适用条件：矩阵为秩1矩阵（每行/列为其他行/列的倍数）。

strong>参考：

5. 哈密顿-凯莱定理（通用技巧）

过特征多项式 ( f(lambda) = |lambda E

strong>步骤：

strong>示例：若 ( f(A) = A^3

strong>适用条件：适用于所有方阵，尤其不可对角化情形。

strong>参考：

6. 幂等矩阵的独特性

( A ) 满足 ( A^2 = A )，则：

A^n = A quad (n geq 1) ]

strong>性质：特征值仅为0或1，可对角化且迹等于秩。

strong>示例：单位阵、投影矩阵。

strong>参考：

7. 特征值与特征向量法

( Ax = lambda x )，则：

A^n x = lambda^n x ]

strong>扩展：若 ( A ) 可对角化，则 ( A^n ) 的特征值为原始特征值的 ( n ) 次幂。

strong>适用条件：需存在足够的线性无关特征向量。

strong>参考：

8. 直接乘法与找规律法

于低阶或独特结构矩阵，直接计算前几次幂并观察规律。

strong>示例：若 ( A^2 = kE )，则 ( A^n = k^n/2}E )（当 ( n ) 为偶数）。

strong>适用条件：低维矩阵或具有对称性/周期性结构的矩阵。

strong>参考：

据矩阵类型选择技巧：

strong>独特结构（如秩1、幂等矩阵）：利用其简化性质。