线（Astroid）是一种四尖瓣的内摆线，其参数方程的推导涉及几何滚动经过的数学建模与分析。下面内容是其参数方程的推导经过及关键步骤解析：
1.内摆线与星形线的定义
线是内摆线的独特情况，当动圆半径(r)与定圆半径(R)的比为(1:4)时形成。内摆线的定义是：动圆在定圆内无滑动滚动时，动圆上某固定点的轨迹。
2.参数方程的推导步骤
(1)初始几何设定
(2)无滑动条件的应用
经过中，两圆接触点的弧长相等，即：
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phaR=(alpha+
ta)r
/p>
R=4r)时，化简得(
ta=3alpha)。
(3)轨迹点的坐标表达
上点(P)的坐标由圆心(O’)的移动和动圆自转共同决定：
ta,-rsin
heta))。
P)的坐标参数方程为：
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gincases}
(R
(R
dcases}
/p>
(R=4r)及(
ta=3alpha)，得：
/p>
gincases}
3rcosalpha+rcos3alpha
3rsinalpha
dcases}
/p>
三倍角公式(cos3alpha=4cos^3alpha
/p>
gincases}
4rcos^3alpha=Rcos^3alpha
4rsin^3alpha=Rsin^3alpha
dcases}
/p>
参数方程为：
/p>
acos^3t,quady=asin^3tquad(a=R)
/p>
3.直角坐标方程的转换
参数(t)，由参数方程可得：
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ft(fracx}a}right)^2/3}+left(fracy}a}right)^2/3}=cos^2t+sin^2t=1
/p>
为：
/p>
2/3}+y^2/3}=a^2/3}
/p>
4.参数的几何意义
5.应用与性质
线的参数方程通过分析动圆在定圆内滚动的几何关系，结合无滑动条件与三角恒等式推导得出。其核心在于动圆与定圆的半径比例关系及弧长相等的约束条件，最终通过参数化简和三倍角公式得到简洁的表达式。
